Супергравитация

1. Алгебры Клиффорда и спиноры. Алгебры Клиффорда группы Лоренца в произвольной размерности. Гамма-матрицы в форме прямых произведений матриц Паули. Случаи четных и нечетных измерений. Спиноры Дирака. Матрицы зарядового сопряжения в размерностях от 4 до 11. Оператор киральности. Спиноры Майораны и Вейля в разных размерностях. Симплектические спиноры. Многоиндексные матрицы Дирака, дуальность Ходжа, полный базис. Задачи: 1. Построить гамма-матрицы в майорановском представлении в размерностях 4 и 10; 2. Построить полный набор матриц в размерности 11, выявить дуальность Ходжа.
2. От алгебры Пуанкаре к супералгебре в D=4. Теорема Хаага-Лопушаньского-Сониуса. Суперсимметричный осциллятор. Спинорные генераторы в дираковской и вейлевской форме. Простая супералгебра Пуанкаре. Тождество Якоби. Операторы Казимира. Массивные и безмассовые мультиплеты. Грассмановы координаты и суперпространство. Понятие о суперполях. Глобальная суперсимметрия. Действия для суперполей. Задача: 1. Проверить инвариантность суперсимметричного оператора Казимира супералгебры Пуанкаре.
3. Расширенные супералгебры. N=2, N=4 и N=8 D=4 расширенные супералгебры с центральными зарядами. Массивные, безмассовые и БПС мультиплеты. Расширенные супералгебры в различных размерностях. Внутренние симметрии. Супералгебры АДС. Сужение Иноню. Задача: 1. Построить явно БПС мультиплеты для N=4 и 8.
4. Поле Рариты-Швингера. Уравнение для спина 3/2 в плоском пространстве. Связи и число степеней свободы on-shell для массивного и безмассового случаев. Случай произвольной размерности. Поле тетрад, спинорная связность и уравнения РШ в искривленном пространстве. Тождество Риччи для поля РШ. Ограничение Бухдала. Задачи: 1. Показать, что в D=3 безмассовое поле s=3/2 не имеет распространяющихся степеней свободы; 2. В пространстве Минковского построить тензор энергии-импульса и тензор спина для безмассового и массивного полей. Провести разложение по плоским волнам; 3. Построить пропагаторы для массивного и безмассового полей спина 3/2 в плоском пространстве. Является ли предел нулевой массы непрерывным? 4. В искривленном пространстве найти ограничение (Бухдала) на фон из условия совместности системы уравнений безмассового поля спина 3/2 в формализме двухкомпонентных спиноров.
5. Простая четырехмерная супергравитация. Локальная суперсимметрия. Поле Рариты-Швингера как калибровочное (гравитино). Коммутатор последовательных преобразований суперсимметрии и необходимость гравитации. Тетрадная форма действия Эйнштейна-Гильберта. Действие супергравитации в формализме Палатини. Уравнения движения. Лоренцева связность с кручением. Задачи: 1. Рассмотреть действие Эйнштейна-Гильберта + безмассовое поле спина s=1/2 S = (2κ²)^-1 ∫ R^a_{μν b} e^νb e^μ_a e d⁴x + S_1/2, S_1/2 = − ∫ $\bar{\mathrm{\psi }}$γ^μD_μ$\mathrm{\psi }$ e d⁴x, D_μ = ∂_μ + (1/4)ω_μabγ^ab. Получить уравнения движения. Можно ли обойтись без кручения? 2. Пусть R_μνλ^a = R_μνb^a(ω)e^b_λ. Показать: a) R_[μνλ]^a + D_[μT^a_νλ] = 0; b) D_[μR_νλ]^ab(ω) = 0; 3. Получить действие второго порядка S²(e, ψ) из S¹_EH + S_3/2. (Указание: будет четырех-фермионный член). Здесь S_3/2 = ∫ $\bar{\mathrm{\psi }}$_μγ^μλD_ν$\mathrm{\psi }$^λ e d⁴x.
6. Простая супергравитация (продолжение). Преобразования суперсимметрии. Проверка суперсимметрии действия on shell в формализме 1.5. Алгебра преобразований суперсимметрии. Понятие о вспомогательных полях. Космологическая постоянная и АДС супергравитация. Спиноры Киллинга и суперсимметрия классических решений. Суперсимметрия пространства АДС. Суперсимметрия плоских волн. Задачи: 1. Если D_μ ε = 0 и D_μ ε' = 0 (Λ = 0), то K_ν = $\bar{\mathrm{\epsilon }}$'γ_ν$\mathrm{\epsilon }$ является вектором Киллинга; 2. Показать, что пространство Шварцшильда не имеет спиноров Киллинга; 3. Получить уравнения для метрики плоских волн из условия существования спиноров Киллинга.
7. N=2, D=4 супергравитация. Суперковариантный тензор Максвелла. Топологически сохраняющиеся токи. Действие N=2 теории. Уравнения движения, тензор кручения. Полная алгебра симметрий: диффеоморфизмы, локальные преобразования Лоренца, калибровочные преобразования векторного поля, SO(2) вращения гравитино (R-симметрия), кирально-дуальные преобразования гравитино и векторного поля, локальные преобразования суперсимметрии. N=2 супералгебра с центральными зарядами. Конструкция Нестера-Виттена. Задачи: 1. Построить форму Нестера-Виттена и получить уравнения Богомольного; 2. Показать, что экстремальное решение Рейсснера-Нордстрема насыщает неравенство Богомольного; 3. Доказать (1/2) суперсимметрию решений Мажумдара-Папапетру.
8. N=2 расширенные теории. Суперсимметрия экстремальных черных дыр Рейсснера-Норстрема. Получение БПС классических решений из условий совместности уравнений на спиноры Киллинга. Расширенные N=2 теории с векторными мультиплетами и гипермультиплетами. Сигма-модельное представление скалярного сектора. Кэлеровы, специальные кэлеровы и гиперкэлеровы пространства. Задачи: 1. Показать, что решение Бертотти-Робинсона (AdS₂ × S²) теории Эйнштейна-Максвелла является полностью суперсимметричным в N=2 СУГРА; 2. Показать, что экстремальное решение Рейсснера-Нордстрема является 1/2 БПС, причем суперсимметрия расширяется до полной на горизонте; 3. Показать, что редукция бозонного сектора N=2 теории в трехмерие имеет скрытую симметрию SU(1, 2).
9. N=4, D=4 супергравитация. Дилатон-аксионый сектор. SL(2, R) дуальность и кэлерова сигма-модель. Полное бозонное действие. Общая структура фермионного действия. Уравнения для обобщенных спиноров Киллинга (вариации гравитино и дилатино). Центральные заряды. Неравенства Богомольного для 1/2 БПС и 1/4 БПС классических решений. Размерная редукция в трехмерие, глобальная симметрия SO(2, 3) EMDA теории (Эйнштейн-Максвелл-Дилатон-Аксион с одним векторным полем). Дилатон-аксионные черные дыры. Задачи: 1. Найти скрытые симметрии трехмерной редукции EMDA_n (EMDA с n векторными полями); 2. Построить статические черные дыры N=4 СУГРА на основании решения задачи 1; 3. Получить уравнения Богомольного для 1/2 и 1/4 БПС конфигураций.
10. Супергравитации в размерностях от 5 до 9 (обзор). Пятимерная минимальная супергравитация. Роль члена Черна-Саймонса. Суперсимметричные черные кольца. Поля антисимметричных форм в размерностях выше пяти. Шестимерная супергравитация c полем автодуальной три-формы. Сигма-модели на однородных пространствах. Структура супергравитационных мультиплетов и лагранжианов супергравитаций в размерностях < 10. Максимальные супергравитации. Задача: 1. Проверить выполнение полевых уравнений для БПС черного кольца в минимальной D=5 супергравитации.
11. Одиннадцатимерная супергравитация. Ограничения на максимальную размерность теорий с максимальной спиральностью два. Действие 11-мерной супергравитации, число степеней свободы, роль поля три-формы (потенциал). Уравнения движения, тензор кручения, преобразования суперсимметрии. Проверка суперсимметрии действия. Спиноры Киллинга и суперсимметричные классические решения. Задачи: 1. Показать что метрики AdS₄ × S⁷ и AdS₇ × S⁴ являются решениями полевых уравнений. Каковы при этом отличные от нуля компоненты 4-формы? 2. Для этих решений (с учетом поля формы) проверить существование обобщенных спиноров Киллинга без дополнительных ограничений.
12. D=11 СУГРА: базовые классические решения. Экстремальные М2 и М5 браны как 1/2 БПС решения. Расширение суперсимметрии на горизонте, браны как солитоны, интерполирующие между суперсимметричными вакуумами. Метрики для черных бран. Решения W (плоские волны) и KK (монополь Калуцы-Клейна). Пересекающиеся браны. Правила пересечения и фракции остаточной суперсимметрии. Задачи: 1. Построить обобщенные спиноры Киллинга для экстремальных М2 и М5 бран; 2. Построить метрики и поля 4-формы всех допустимых пересечений М2 и М5 бран.
13. Размерная редукция D=11 теории. Редукция тетрады и поля p-формы на окружность. Природа «скрытых симметрий». Редукция на T². Однородное пространство SL(2, R) / SO(2). Редукция бозонного сектора D=11 супергравитации и E_n скрытые симметрии. Вывод N=8 четырехмерной теории с помощью размерной редукции. Косет E₇(7) / SU(8). STU-теория и ее усечения. Понятие об «окислении» косетов. Размерная редукция на бранах. Задачи: 1. Построить матричное представление косета SL(2, R) / SO(2); 2. Построить группу скрытых симметрий стационарных вакуумных решений уравнений Эйнштейна; 3. Провести тороидальную размерную редукцию минимальной D=5 СУГРА в D=3 методом Cremmer, Julia, Pope. Какова группа скрытых симметрий в этом случае?
14. Калиброванные супергравитации (обзор). Поля Янга-Миллса и неабелевы теории из размерной редукции, условия согласования (Pope). Редукции на сферы и понятие о калиброванных супергравитациях. N=4 теория Фридмана-Шварца с неабелевой калибровочной симметрией SU(2) × SU(2).
15. Теория IIA. Вывод действия с помощью размерной редукции D=11 СУГРА. Поля форм. NS5-брана. D-браны. Продольная и поперечная редукция 11 → 10 решений W, KK M2, M5. N=1 SUGRA и N=1 SYM в D=10. Редукция на S³ × S³ и теория Фридмана-Шварца. Задачи: 1. Построить черные D0 и NS5 браны в эйнштейновском фрейме; 2. Вывести уравнение для спиноров Киллинга теории IIA из соответствующих уравнений D=11 SUGRA.
16. Теория IIB. Дуальности. Бозонное действие IIB. Поля антисимметричных форм. D3-брана. SL(2, R)-дуальность действия IIB. Компактификация теорий IIA и IIB на окружность и Т-дуальность. Преобразования Бучера. Понятие об U-дуальностях максимальных супергравитаций в различных размерностях. Задачи: 1. Построить (явно) решение для черной D3 браны. Каковы изометрии этого пространства на горизонте? Имеет ли оно спиноры Киллинга теории IIB? 2. То же самое для экстремальной D3 браны; 3. Вывести преобразования Т-дуальности для стационарных бозонных решений N=4, D=4 SUGRA.

1. P. van Nieuwenhuizen, Supergravity, Phys. Rept. 68 (1981) 189-398.
2. M.F. Sohnius, Introducing Supersymmetry, Phys. Reports, 1985, N2-3, pp 39-204.
3. H.P. Nilles, Supersymmetry, Supergravity and Particle Physics, Phys. Reports 1984, N1-2, 1-162.
4. J.D. Lykken, Introduction to Supersymmetry, hep-th/9612114.
5. A. Van Proyen, Tools for supersymmetry, hep-th/9910030.
6. I.L. Buchbinder (et al.): Ideas and methods of supersymmetry and supergravity — or A walk through superspace. Inst. of Physics Publ., Bristol 1998, ISBN 0-7503-0506-1.
7. Th. Ortin, Gravity and Strings, CUP, 2004, 705 p.
8. D.Z. Friedmann and A. Van Proeyen, Supergravity, CUP, 2012, 607 p.
9. Y. Tanii: Introduction to Supergravity. Springer, 2014, ISBN 978-4-431-54827-0.
10. K.S. Stelle, Lectures on supergravity p-branes, in Trieste 1996, High energy physics and cosmology, p. 287, hep-th/9701088.

1. R. Slansky, Group theory for unified model building, Phys. Repts, v79, 1-128 (1981).
2. A. Miemiec, I. Schnakenburg, Basics of M-Theory, Fortsch. Phys. 54 (2006)
3. L. Castellani, R. D'Auria, P. Fre, Supergravity and Superstrings. A Geometric Perspective. Vol. 2 Supergravity, World Scientific, 1991.
4. P. Fre, Advances in Geometry and Lie Algebras from Supergravity, Springer, 2018.
5. S. Naito, K. Osada and T. Fukui, Fierz identities and invariance of 11-dimensional supergravity action, Phys. Rev. D, 34(2) (1986).
6. S. Deser, J.H. Kay and K.S. Stelle, Hamiltonian formulation of supergravity, Phys. Rev. D16, 2448 (1977).
7. M.J. Duff, R.R. Khuri, and J.X. Lu. String solitons. Phys. Rep., 259, 213–326, 1995.
8. Lu and C. Pope, p-brane solutions in maximal supergravities, https://arxiv.org/abs/hep-th/9512012.
9. C.N. Pope, Kaluza-Klein theory, http://people.physics.tamu.edu/pope/ihplec.pdf.
10. B. de Witt, H. Nicolai, N=8 Supergravity, Nucl. Phys. B208, (1982) 323-364.
11. M. Trigiante, Gauged supergravities, Phys. Repts., v. 680 (2017) 1-175.
12. A. Salam and E. Sezgin, Supergravities in diverse dimensions, vv. 1, 2, WS 1989.