Введение в теорию струн и голографию

1. Классические бозонные струны. Введение. Дуальные амплитуды. Действия Намбу-Гото и Полякова в искривленном пространстве. Граничные условия Неймана и Дирихле для открытых струн. Разложения Фурье. Вейлевская симмерия. Связи. Задачи: 1. Записать уравнения движения (УД) через тензор внешней кривизны мирового листа; 2. Записать УД в общековариантном виде; 3. Построить разложение Фурье для открытой струны с граничными условиями Дирихле.
2. Наивное квантование бозонной струны. Гамильтониан, скобки Пуассона. Коммутационные соотношения. Алгебра Вирасоро. Калибровка светового конуса. Массовые формулы и безмассовые возбуждения. Критическая размерность. Задачи: 1. Получить перестановочные соотношения для мод исходя из гамильтонова квантования двумерной сигма-модели; 2. Построить фоковское пространство для открытой струны с граничными условиями Дирихле; 3. Получить критическую размерность и параметр упорядочения из условия замыкания алгебры Пуанкаре.
3. Элементы двумерной конформной теории поля. Производящий функционал. Комплексные координаты на цилиндре и на плоскости. Корреляторы и операторные разложения. Тождества Уорда. Конформный вес. Центральный заряд и его интерпретации. Изображение состояний операторами. Модуль Верма. Задачи: 1. Построить коммутаторы генераторов Вирасоро используя их представление контурными интегралами в комплексной плоскости; 2. Построить операторы, соответствующие безмассовым состояниям замкнутой бозонной струны.
4. Квантование бозонной струны методом функционального интеграла. Духи Фаддеева-Попова в теории бозонной струны. Конформные веса и духовое действие. Сокращение аномалий в полной алгебре Вирасоро. Квантование БРСТ, когомологии и физические состояния. Задачи: 1. Проверить явно выполнение условий БРСТ в подходе Фаддеева-Попова; 2. Проверить нильпотентность БРСТ заряда.
5. Модель Рамона-Неве-Шварца. Двумерная супергравитация. Супералгебра Вирасоро. Секторы Рамона и Неве-Шварца. Массовые формулы и безмассовые состояния открытой струны с граничными условиями Неймана и смешанными (D-браны). Безмассовые состояния замкнутой струны. Проекция Льоцци-Шерка-Олива, теории IIA и IIB. Задачи: 1. Проверить условие триальности для низших неприводимых представлений группы SO(8); 2. Дать явный вывод аномальных членов супералгебры Вирасоро для секторов Рамона и Неве-Шварца; 3. Вывести критическую размерность в калибровке светового конуса.
6. Понятие о гетеротической струне. Компактификация правого сектора замкнутой бозонной струны на тор. Числа навиваний и квантование импульсов на торе. Безмассовые состояния на решетках SO(32) и E8 x E8. Фермионная теория гетеротической струны. Задачи: 1. Построить алгебру Е8 объединением so(16) со спинорным представлением. Проверить тождество Якоби. Объяснить различие диаграмм Дынкина для so(16) и E8; 2. Объяснить структуру подгрупп группы Е8.
7. Взаимодействие струн. Представление Швингера собственного времени в квантовой электродинамике. Обобщение на теорию струн. Константа связи, топология мировых листов замкнутых и открытых бозонных струн и дилатон. Амплитуды рассеяния. Вершинные операторы для тахиона, гравитона и векторной частицы. Роль симметрии SL(2, C). Задачи: 1. Найти конформные веса операторов плоской волны для тахиона и гравитона; 2. Провести явное вычисление амплитуды Вирасоро; 3. Провести явное вычисление амплитуды Венециано.
8. Струны во внешних полях. Метод фонового поля в квантовой электродинамике и квантовой гравитации. Замкнутая бозонная струна во внешних полях: гравитационном, поле Калб-Рамона и дилатонном. Взаимодействие концов открытых струн с векторным полем. Квантование методом возмущений. Точные струнные бэкграунды: модели Весса-Зумино-Виттена. Задача: 1. Рассчитать конформную аномалию скалярного поля с минимальной связью в размерностях 2 и 4 в медленно изменяющемся гравитационном поле.
9. Эффективные действия для замкнутых струн. Бозонная струна во внешних полях. Конформная аномалия и бета-функционалы для замкнутых струн. Методы вычисления. Эффективные действия для струн IIA и IIB, роль полей Рамон-Рамона. Эффективное действие для гетеротической струны. Дуальные симметрии струнных теорий. Поправки по альфа и петлевые поправки. Гравитация Гаусса-Боннэ из гетеротической теории. Задачи: 1. Проделать размерную редукцию бозонного сектора 11D супергравитации на окружность, получить действие теории IIA; 2. Провести размерную редукцию эффективных действий IIA и IIB в девятимерии и проверить Т-дуальность Бучера.
10. Эффективное действие для открытых струн. Теория Борна-Инфельда в электродинамике. Открытые струны с граничными условиями на D-бранах. Действие БИ для D-бран. БИ в присутствии поля Неве-Шварца. Натяжение браны в терминах параметров струны. Связь с параметрами солитонной D-браны. Стопка D-бран. Неабелево действие БИ, гипотеза Цейтлина симметризованного следа. Струнное конструирование калибровочных теорий с помощью D-бран. Задачи: 1. Расписать действие БИ в размерностях 3, 4 и 5; 2. Построить неабелево действие БИ для группы SU(2) в четырехмерии для обычного следа и «симметризованного следа».
11. Голографическая дуальность. Энтропия Бекенштейна-Хокинга и голографический принцип. Поглощение скалярных волн черной дырой и интерпретация в дуальной теории поля на бране. БПС D3 брана в теории IIB с точки зрения замкнутых струн. AdS5 x S5 геометрия вблизи горизонта. Суперсимметрия, конформная симметрия. Декаплинг Малдасены. Голографическое описание теорий при конечной температуре. Задачи: 1. Построить решение уравнений IIB супергравитации для черной D3 браны. Вычислить плотность массы Комара и заряды Пэйджа. Рассмотреть экстремальный предел; 2. Получить решение для экстремальной D3 браны из условия существования спиноров Киллинга теории IIB.
12. Пространство анти де Ситтера как голографический бэкграунд. Координатные системы на гиперболоиде, координаты Пуанкаре, статические координаты. Накрывающая геометрия, геометрия AdS, конформная граница. AdS как косет в различных размерностях. Решение AdS5 x S5 в теории IIB, суперсимметрия. Предел Пенроуза для AdSn x S^k. Спектр скалярного поля, граница Брайтенлонера-Фридмана. Спектр скалярного поля в пространстве AdS5 x S5. Поля со спином. Топологические черные дыры с AdS асимптотикой. Задача: 1. Рассмотреть геодезические в АДС, обратив внимание на поведение вблизи конформной границы.
13. Представление о N=4 четырехмерной калибровочной теории. Вывод действия путем редукции D=10 N=1 суперсимметричной теории Янга-Миллса. Потенциал полей Хиггса, долины, конформная фаза. Планарные диаграммы и предел т’Хофта в калибровочных теориях. Непертурбативные аспекты: магнитные монополи и дуальность Монотонена-Олива. Спин, изоспин и сохранение момента. Задачи: 1. Построить действие N=2 четырехмерной теории с помощью размерной редукции из D=6 N=1 SYM; 2. Построить магнитный монополь в теории N=4 и найти нулевые моды для изовекторных дираковских фермионов.
14. AdS/CFT, вычисление корреляторов. Конформные веса и голографический словарь. Голографическое отождествление производящих функционалов. Предел гравитации. Вычисление действия для скалярного поля в AdS геометрии. Понятие о голографической перенормировке. Метод граничных контрчленов. Корреляторы скалярных операторов в евклидовом пространстве и пространстве Минковского. Корреляторы тензоров энергии-импульса. Задачи: 1. Построить контрчлены, устраняющие расходимости скалярного действия в АдС для размерностей от трех до шести; 2. Привести подробности голографического вычисления двухточечной функции скалярных операторов CFT в пространстве Минковского.
15. AdS/QCD и гидродинамика кварк-глюонной плазмы. Элементы гидродинамики неидеальной жидкости. Коэффициенты вязкости. Уравнение Навье-Стокса и мембранное описание горизонта черной дыры. Голографическое представление гидродинамики и вычисление коэффициентов переноса. Элементы феноменологии кварк-глюонной плазмы. Голографическое вычисление отношения вязкость – энтропия. Роль квазинормальных мод. Задача: 1. Вычислить коэффициент диффузии и сдвиговую вязкость на основании возмущений экстремальной D3 браны.
16. AdS/CMT и голографическая модель 1+2 сверхпроводимости. Голографические соответствия AdS/CMT. Планарное решение Рейсснер-Нордстрем-АДС D=4. Модель Габсера. Заряженное скалярное поле как возмущение. Химический потенциал дуальной теории. Фазовый переход как сброс скалярных волос. Голографическая проводимость. Задача: 1. Построить решение четырехмерных уравнений Эйнштейна-Максвелла с отрицательной космологической постоянной черных дыр с плоской и гиперболической геометрией горизонта.

1. М. Гpин, Дж. Шваpц, Э. Виттен. Теоpия супеpстpун, т. 1, 2. — М.: Миp, 1990.
2. J. Polchinski, String theory. Vol. 1: An introduction to the bosonic string; Vol.2: Superstring theory and beyond, Cambridge University Press (Cambridge, UK, 1998), 402p, 531 p.
3. B. Zwiebach, A first course in string theory, Cambridge Univ. Pr. (Cambridge, UK, 2004), 558 p. (Имеется перевод).
4. P. West, Introduction to Strings and branes, Cambridge Univ. Pr. (Cambridge, UK, 2013), 558 p.
5. Th. Ortin, Gravity and Strings, CUP, Second edition, 2015.
6. C.N. Pope, Kaluza-Klein theory, http://people.physics.tamu.edu/pope/ihplec.pdf

1. O. Aharony et al. (2000). "Large N Field Theories, String Theory and Gravity". Phys. Rep. 323 (3–4): 183–386. doi:10.1016/S0370-1573(99)00083-6
2. Maldacena, Juan (1998). "The Large N limit of superconformal field theories and supergravity". Advances in Theoretical and Mathematical Physics. 2: 231–252. doi:10.1023/A:1026654312961
3. S.S. Gubser, I.R. Klebanov and A.M. Polyakov, “Gauge theory correlators from non-critical string theory,” Phys. Lett. B 428, 105 (1998) [arXiv:hep-th/9802109].
4. E. Witten, “Anti-de Sitter space and holography,” Adv. Theor. Math. Phys. 2, 253 (1998) [arXiv:hep-th/9802150].
5. J. Polchinski, “Introduction to Gauge/Gravity Duality,” arXiv:1010.6134[hep-th].
6. J. Casalderrey-Solana, H. Liu, D. Mateos, K. Rajagopal, and U.A. Wiedemann, “Gauge/String Duality, Hot QCD and Heavy Ion Collisions,” arXiv:1101.0618 [hep-th].
7. D.T. Son and A.O. Starinets, “Viscosity, Black Holes, and Quantum Field Theory,” Ann. Rev. Nucl. Part. Sci. 57, 95 (2007) [arXiv:0704.0240 [hep-th]].
8. A.O. Starinets, “Transport coefficients of strongly coupled gauge theories: Insights from string theory,” Eur. Phys. J. A 29, 77 (2006) [arXiv:nuclth/0511073].
9. Rong-Gen Cai, Li Li, Li-Fang Li, Run-Qiu Yang, “Introduction to Holographic Superconductor Models” https://arxiv.org/pdf/1502.00437.pdf