Математические методы теории гравитации

1. Топологическое пространство. Дифференцируемые многообразия. Гомотопии. Гомологии. Расслоенные пространства. Классификация двумерных компактных многообразий.
2. Диффеоморфизмы. Векторы, ковекторы и тензоры в многообразии. Производная Ли и алгебры Ли. Аффинная связность и ковариантная производная. Тензор кривизны.
3. Касательное пространство. Лоренцева связность. Кривизна лоренцевой связности. Калибровочные поля как связности в расслоениях.
4. Орторепер как калибровочное поле трансляций. Уравнения Картана, кручение. Проективная инвариантность.
5. Метрика. Метрическая связность. Репер, согласованный с метрикой. Кривизна, кручение и неметричность в тензорном и реперном формализмах. Тензор Риччи и скалярная кривизна.
6. Поля антисимметричных форм. Внешняя производная. Интегрирование форм, теорема Стокса. Скалярное произведение и кодифференциал. Замкнутые, точные и гармонические формы, группы когомологий.
7. Уравнения Киллинга и группы изометрий. Однородные и симметрические пространства. Фактор-пространства и матричные представления косетов. Тензоры Киллинга и Яно-Киллинга.
8. Конформные преобразования. Тензор Вейля. Конформные векторы и тензоры Киллинга. Конформная группа в различных размерностях.
9. Алгебры Клиффорда и спиноры в произвольной размерности. Уравнения Дирака и Рариты-Швингера.
10. Формализм Ньюмена-Пенроуза в векторной и спинорной формах. Главные изотропные направления, классификация пространств по Петрову. Поля произвольного спина в искривленном пространстве, ограничение Бухдала для спина 3/2 и выше.
11. Поля различных спинов в пространствах типа D. Уравнения Теукольского. Потенциалы Дебая.
12. Размерная редукция действия Эйнштейна-Гильберта и полей антисимметричных форм.