Дифференциальные формы и расслоения в теоретической физике


Лектор — доцент А. В. Соловьев
(7 семестр, 36 часов)
  1. Векторы и ковекторы линейного пространства. Полилинейные формы от векторов и ковекторов. Тензорный закон преобразования коэффициентов полилинейных форм.
  2. Тензоры на линейном пространстве. Инвариантные операции над тензорами.
  3. Стандартный базис в пространстве тензоров. Симметричные и антисимметричные тензоры.
  4. Внешнее умножение векторов. Поливекторы.
  5. Разложение антисимметричного контравариантного тензора по базисным поливекторам. Внешнее умножение антисимметричных тезоров.
  6. Внешнее умножение ковекторов. Внешние формы.
  7. Разложение внешней формы по базисным формам. Внешнее умножение форм.
  8. Ориентированный объем поливектора. Оператор Ходжа.
  9. Элементарное многообразие. Карты. Атласы. Гладкие многообразия.
  10. Касательные векторы к многообразию в точке. Касательное пространство. Координатный базис.
  11. Кокасательное пространство к многообразию в точке. Базис, сопряженный координатному.
  12. Тензорные поля на гладком многообразии. Разложение тензорного поля по базису из тензорных произведений координатных векторных и ковекторных полей.
  13. Дифференциальные формы. Разложение дифференциальной формы по базисным дифференциальным формам.
  14. Внешняя производная дифференциальных форм. Свойства внешней производной.
  15. Замкнутые и точные дифференциальные формы. 1-форма потенциала и 2-форма напряженности электромагнитного поля.
  16. Скалярные плотности на многообразии. Пример из псевдоримановой геометрии.
  17. Дифференциальные формы старшей степени на многообразии. Ориентированные многообразия. Формы объема.
  18. Интегрирование дифференциальных форм. Теорема Стокса.
  19. Расслоения. Тривиальное расслоение.
  20. Векторные расслоения ранга n.
  21. Касательное расслоение над многообразием. Пример из лагранжевой механики
  22. Кокасательное расслоение над многообразием. Пример из гамильтоновой механики.
  23. Сечения расслоений.
Литеpатуpа
  1. Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр II. Линейная алгебра. — М.: Наука, 1986.
  2. Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие многообразия. — М.: Наука, 1987.
  3. Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр IV. Дифференциальная геометрия. — М.: Наука, 1988.
  4. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. — М.: Издательство ЛКИ, 2010.
  5. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. — М.: Эдиториал УРСС, 2003.
  6. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Эдиториал УРСС, 1998.