Автоматизация теоретических исследований

1. Вычислительный эксперимент, основные этапы и особенности его проведения. Сравнительный анализ численных и аналитических методов. Их применимость для решения задач теоретической физики. Ограничения, вытекающие из уровня развития вычислительной техники, понимания физической проблемы.
2. Дискретная математика. Основные положения. Разностные производные. Суммирование по частям. Применение методов суммирования по частям для суммирования рядов. Методы решения систем алгебраических уравнений.
3. Численные методы решения дифференциальных уравнений. Сетка. Аппроксимация дифференциального оператора разностным. Шаблон, зависимость погрешности аппроксимации от шаблона. Разностная схема.
4. Краевые задачи и разностные функции Грина. Первая разностная формула Грина. Вторая разностная формула Грина. Краевая задача для уравнения второго порядка. Разностная функция Грина для уравнения второго порядка.
5. Метод конечных элементов. Вариационные методы решения краевых задач. Метод Ритца. Сплайны. Метод конечных элементов (применение сплайн функций в качестве базисных функций при решении краевых задач). Метод Бубнова-Галеркина для несамосопряженных операторов.
6. Группы и дифференциальные уравнения. Операция продолжения. Группа симметрии системы дифференциальных уравнений. График функции. Пространство струй. Система дифференциальных уравнений - подмногообразие пространства струй.
7. Обобщенные симметрии дифференциальных уравнений и законы сохранения. Обобщенные симметрии дифференциальных уравнений. Дифференциальная функция. Эволюционные векторные поля. Вычисление обобщенных симметрий. Симметрии и продолжения. Скобка Ли для обобщенных векторных полей. Эволюционные уравнения. Операторы рекурсии.
8. Инвариантность дифференциальных уравнений. Продолжение векторных полей. Инфинитезимальная инвариантность. Формула продолжения и полные производные. Общая формула продолжения. Свойства продолженных векторных полей и характеристики симметрий.
9. Производные Фреше и критерии рекурсивности операторов. Сопряженные дифференциальные операторы. Характеристики законов сохранения и вариационные симметрии. Теорема Нетер. Вариационный комплекс и решение обратной задачи вариационного исчисления.
10. Компьютерное моделирование в теоретической физике. Компьютерный эксперимент. Усреднение по ансамблю и усреднение по времени. Эргодичность исследуемой физической системы. Погрешности компьютерного эксперимента. Детерминистический и стохастический методы моделирования как отражения различных подходов к описанию динамики физической системы.
11. Детерминистические методы. Сущность детерминистических методов. Основные ограничения и погрешности. Требования к вычислительной технике. Метод молекулярной динамики.
12. Стохастические методы. Марковский процесс. Марковская цепь. Марковский процесс - вероятностный аналог собственной динамики системы. Основные ограничения и погрешности стохастического моделирования. Требования к вычислительной технике. Броуновская динамика. Методы Монте-Карло.
13. Марковские процессы и фейнмановские интегралы. Функциональные интегралы и статистическая механика. Скалярные поля на решетке. Фермионы на решетке.
14. Калибровочные поля на решетке. Локальные симметрии и калибровочные поля. Петля Вильсона. Калибровочная теория на решетке. Групповое интегрирование. Калибровочная инвариантность и параметры порядка. Приближение сильной и слабой связи. Перенормировка и непрерывный предел. Гамильтонов подход. Дискретные группы и дуальность.
15. Аналитические вычисления в квантовой механике и статистической физике. Основные примитивы языка аналитических вычислений REDUCE. Идентификаторы. Выражения. Переменные. Команды. Операторы. Оператор дифференцирования DF. Массивы. Управление порядком имен в выражениях. Понятие флага. Комментарии и вывод на печать.
16. Процедуры и другие конструкции языка REDUCE. Аппарат подстановок. Понятие ядра. Пренебрежение слагаемыми заданного порядка малости. Операции сравнения. Логические выражения. Условные выражения. Блок. Команды передачи управления. Циклы. Процедуры (команда PROCEDURE, тело процедуры, формальные и фактические параметры). Аппарат функциональных подстановок. Рекурсия при вычислении операторов и процедур. Ввод и вывод в системе REDUCE.
17. Аналитические вычисления в квантовой теории поля. Язык RLISP - диалект языка LISP. Общая структура системы REDUCE. Методы программирования на языке символьной моды REDUCE. Введение в алгебраической моде булевых процедур. Представление данных в системе REDUCE. Оценка ресурсов вычислительной техники, необходимых для работы с аналитическими вычислениями.
18. Применение пакета "MATHEMATICA" для численных и аналитических вычислений.
19. Пакеты "MAPLE" и "MATHCAD" для численных и аналитических вычислений.
20. Информационные системы для физиков-теоретиков.
21. Разностные уравнения и методы их решения. Сеточные функции. Исследование уравнений и неравенств 1-го порядка. Уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Разностное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами. Задача Коши и краевая задача. Метод прогонки.
22. Симметрии алгебраических уравнений. Определение группы симметрии для системы функциональных уравнений. Инвариантные подмножества и инвариантные функции. Инфинитезимальная инвариантность. Локальная инвариантность. Инварианты и функциональная зависимость. Методы построения инвариантов.
23. Вычисление групп симметрии дифференциальных уравнений. Группа симметрии уравнения теплопроводности. Группа симметрии волнового уравнения. Группа симметрии уравнения Кортевега - де Фриза.
24. Построение редуцированной системы дифференциальных уравнений для решений системы, инвариантных относительно некоторой группы симметрии. Решения уравнения теплопроводности, инвариантные относительно преобразований Галилея; бегущие волны; конформно инвариантные решения. Автомодельные решения уравнения Кортвега - де Фриза. Классификация решений, инвариантных относительно группы.
25. Методы Монте-Карло и калибровочные теории на решетке. Алгоритм "тепловой ванны". Алгоритм Метрополиса. Связь величин, вычисляемых методом Монте-Карло, с параметрами непрерывной калибровочной теории и экспериментом. За пределами вильсоновского действия.

1. Самарский А.А. Теория разностных схем. - М.: Наука, 1989. - 616 с.
2. Виноградов A.M., Красильщик И.С, Лычачин В.В. Введение геометрию нелинейных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1986. - 336 с.
3. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. М.: Мир, 1989. - 639 с.
4. Папис Ж., ди Мелу В. Геометрическая теория динамических систем. Введение. М.: Мир, 1986. -301 с.
5. Schwarz F. Automatically Determing Symmetries of Partial Differential Equations, Computing, 1985, v. 34, p. 91-106.
6. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1978.
7. Хеерман Д.В. Методы компьютерного эксперимента в теоретической физике. - М.: Наука, 1990. - 176 с.
8. Биндер К., Хеерман Д.В. Моделирование методом Монте-Карло в статистической физике: Введение. - М.: Наука, 1995. - 144 с.
9. Глимм Дж., Джаффе А. Математические методы квантовой физики. Подход с использованием функциональных интегралов. - М.: Мир, 1984. - 448 с.
10. Харт Н. Геометрическое квантование в действии. - М.: Мир, 1985. - 343 с.
11. Маслов В.П. Комплексные марковские цепи и континуальный интеграл Фейнмана. - М,: Наука, 1976. 192 с.
12. Евклидова квантовая теория поля. Марковский подход, сб. статей – М.: Мир, 1978. - 288 с.
13. Зайлер Э. Калибровочные теории. Связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой. - М.: Мир, 1985. - 224 с.
14. Кройц М. Кварки, глюоны и решетки. - М.: Мир, 1987. - 192 с.
15. Еднерал В.Ф., Крюков А.П,, Родионов А.Я. Язык аналитических вычислений REDUCE. - М.: изд-во Моск. ун-та, 1988. - 176 с.
16. Крюков А.Л., Родионов А.Я., Таранов А.Ю., Шабыгин Е.М. Программирование на языке R-Лисп. - М.: Радио и связь, 1991. - 192 с.
17. New Computing Techniques in Physics Research IV Proceedings of the Fourth International Workshop on Software Engineering Artificial Intelligence and Expert Systems for High Energy and Nuclear Physics. (April3-8, 1995, Pisa, Italy) ed. B.Denby, D.Perret-Gallix. World Scientific Singapore, London. 1995. Computing as a Language of Physics. - VIENNA: IAEA, 1972 - 616 pp.
18. Zeng Z. Scientific Computing with Maple Programming. - 2001 - 161 pp.